Teorema Markov dan Chebyshev

Variansi dari variabel ramdom mengendalikan penyebaran sistribusinya disekitar mean. Variansi yang tepat untuk uangkapan tadi adalah pertidaksamaan MARKOV dan pertidaksamaan CHEBYSHEV. Pertidaksamaan ini sangan banyak sekali manfaatnya karena tidak memerlukan bantuan distribusi peluang. Yang diperlukan hanya μ dan Ϭ² 

Teorema markov

Jika x adalah variabel random yang hanya mengambil nilai - nilai non negatif , maka untuk a > 0  ɛ R berlaku

                                                             P(X ≥ a)  ≤  E (x)

                                                                                                a

Teorema Chebyshev

Jika x adalah variabel random dengan mean μ dan variansi Ϭ² maka untuk nilai k > 0

                                      P{| X - μ | ≥ k = Ϭ²

                                                                                                                                  k²

Bentuk equivalensi dari pertidaksamaan Chebyshev adalah 
Jika x adalah variabel random dengan mean μ dan variansi Ϭ² maka untuk suatu konstanta c dan k berlaku

1.  P(| X - μ | ≥ k Ϭ) ≤ 1/k²
2.  P(| X - μ | < k Ϭ) ≥ 1 - 1/k² 

3.  P(| X - μ | ≥ c) ≤ Ϭ²/c²

Ekspetasi dan Variansi

Ekspetasi

Ekspetasi dari variabel random merupakan konsep terpenting dati teori peluang dan statistika, yang mengakar dalam perjudian, karena mengetauhi nilai harapan  mereka untuk menang. Ekspetasi dari variabel random X ditulis E (X) , lambang E disebut operator ekspetasi.

Ekspektasi atau nilai rata-rata atau nilai mean dari variabel acak X dengan pdf f dan nilai xi untuk i = 1,2,... adalah  E (X) Σ ∞ i=1 xif (xi)

Jika X adalah variabel acak diskrit, nilai mean dari fungsi Y = g(X) adalah

E(Y) = E [g(X)] = Σi g (Xi) P (X = xi)

Misalkan X  dan Y adalah variabel acak diskrit maka

a.    Untuk sembarang konstanta a, E (a) = a dan E(aX) = aE (x) 

b.   E (X+Y) = E(X) + E(Y)

c.    terdapat kontanta a,b,c ,E (aX+bY+c) = aE(X) + bE(Y) + c

Sifat-sifat ekspektasi:

a. Jika X merupakan variabel acak dengan pdf fx(x) dan u(X) adalah fungsi dari X, maka ekspektasi dari u(X) adalah:

                                                               Σ u (x) fx (x) , jika x diskrit

                                               E[u(X)] =  

                                                               ∫^∞ _-∞ u (x) fx (x) dx , jika x kontinu

b. Sifat linear ekspektasi

                                              E [ag (X) + bh(X)] = aE [g(x)] + bE [h(X)]

Contoh soal
Diketahui y1 dan y2 mempunyai fungsi kepadatan bersama f( Y1, Y2) = 2Y1 untuk 0 ≤ 1 ≤ 1 ; 0 ≤ Y2 ≤ 1 ,
sama dengan 0 untuk yang lain. Tentukan harga harapan E( Y1 Y2) dan E[ Y1 + Y1 (Y2)2 ]

E [Y₁ Y₂]                      =  ∫¹₀  ∫¹₀   ( y₁  y₂ ) 2y₁ dy₁ dy

                                  =  ∫¹₀ 2y₂ [ y₁³/3 ] ¹₀  dy₂

                                  =  ∫¹₀  (2/3) y₂ dy₂

                                  =  [ y₂² /3 ] ¹₀

                                  =   1/3

E[ Y₁ + Y₁ (Y₂)² ]           =   E[Y₁] + E[ Y₁(Y₂)² ]

                                  =   ∫¹₀  ∫¹₀   (y₁) 2y₁  dy₁ dy₂  +   ∫¹₀  ∫¹₀   (y₁y₂²) 2y₁  dy₁ dy₂

                                  =   ∫¹₀  [ 2y₁³/3 ] ¹₀ dy₂  +  ∫¹₀  2y₂² [ y₁³/3 ]¹₀ dy₂

                                  =   ∫¹₀  (2/3) dy₂  +  ∫¹₀  (2/3) y₂² dy₂

                                  =  (2/3)  +  [ 2y₂³/9 ]¹₀

                                  =  (2/3)  + (2/9)

                                  =  8/9

Variabel Random

Variabel random adalah fungsi dari outcome suatu random eksperimen, dalam bahasa matematisnya adalah fungsi yang dominannya sample space Ω, sedangkan spacenya R_x subset dari gugus bilangan real. Secara matematis  X : Ω  → R 

Suatu Variabel random X dikatakan diskrit jika range dari X merupakan himpunan berhingga (finite) atau tak berhingga tetapi terbilang (unfinite countable). Sedangkan jika tidak terbilang (uncountable) maka dinamakan kontinu.
 
Variabel Random Diskrit
Variabel acak X dikatakan diskrit, jika himpunan semua nilai yang mungkin dari X, yaitu X₁,X2, ... ,Xn atau X₁,X2 merupakan himpunan terhitung (countable). Fungsi yang berbentuk  disebut fungsi kepadatan probabilitas diskrit untuk X atau disingkat pdf. Suatu fungsi f adalah pdf dari variabel acak diskrit jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut :

1.   F(Xi) ≥ 0 untuk setiap Xi

2.   Σ semua Xi  f (Xi) = 1

Fungsi kepadatan probabilitas selain dapat dinyatakan dengan persamaan, dapat juga dinyatakan secara tabel dan grafik. Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari X adalah F (x) = P (X ≤ x ) untuk sembarang bilangan real x. Jadi F (x) menyatakan peluang kejadian X ɛ (-∞,x ]. Untuk variabel random diskrit, grafik dari F (x)  berupa fungsi tangga. 

Sifat - sifat CDF
1.  Lim x → -∞ F (x)  = 0

2.  Lim x → -∞ F (x) = 1
3.  Lim h→ 0+ F (x + h) = F (x)

4.  Jika a < b maka F (a) < F (b)

Jika a < b maka (-∞,b] = (-∞,b] u (a,b] , kedua interval saling asing sehingga diperoleh
P (a < x ≤ b) = P ( x ≤ b) - P(x ≤ a) = F(b) - F(a)