Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes

Probabilitas terjadinya  suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinotasikan dengan P(B | A). Misalkan A dan B menyatakan dua kejadian dalam koleksi kejadian dalam ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari kejadian A bila diberikan kejadian B dinotasikan dengan

1. P(A | B)         = P (A ∩ B ) / P(B)  ; P (B) > 0
2. P(B | A)         = P (A U B ) / P(B)  ; P (A) > 0
3. P(A U B | C)  = P ((A U B) ∩ C) / P(C)

  SIFAT - SIFAT

1. 0 ≤ P (A | B) ≤ 1 ==> 0 ≤ P(A ∩ B ) ≤ P (B)
2. Jika A ≤ B maka A∩B = A sehingga P(A | B) = P(A)/P(B)
3. Jika B ≤ A maka A∩B = B sehingga P(A | B) = 1

Dari ketiga syrat di atas diperoleh
  P (A U B ) = P (A | B) P (B) = P (B | A) P(A)




Contoh soal:
Pengacakan orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
                  Bekerja      Tak Bekerja
Lelaki          460                   140
Wanita           40                   260
Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata daan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakannya ke seluruh negeri.


Jawab
Misalkan A = lelaki yang terpilih sedangkan B = orang yang terpilih dalam status bekerja.
P(A | B) = P(A ∩ B )/ P(B)
              = (460/900) / (600/900)
              = (23/45) / (2/3)
              = 23/30

TEOREMA BAYES

Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut:
                atau               

Contoh soal
Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka. 97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.Jika sembarang orang dari negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu?

Jawab
P (A) = 2%
P (Ā) = 98%
P (B | A) = 97%
P (B | Ā) = 9%P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97% = 0,0194P (B ∩  Ā) = P ( Ā) × P (B |  Ā) = 98% × 9% = 0,0882P (Ƀ ∩ A) = P (A) × P (Ƀ | A) = 2% × 3% = 0,0006
P(Ƀ ∩Ā ) = P (Ā) × P (Ƀ | Ā) = 98% × 91% = 0,8918

P(A | B) = P(B ∩ A) / P(B)  =  P(B | A) × P(A) / P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)

                                              = 97% × 2% / (97% × 2%) + (9% × 98%)

                                              = 0.0194 / 0.0194 + 0.0882

                                              = 0.0194 / 0.1076

                            P(A | B)     = 0.1803

Diagram Pohon

                              

Diagram pohon merupakan cara yang mudah untuk menggambarkan hasil-hasil yang mungkin dari sederetan percobaan jika dari setiap percobaan hasil yang mungkin berhingga (dalam teori peluang disebut proses stokastik). Diagram pohon sangat berguna untuk menggambarkan peluang bersyarat dan peluang bersama. Probabilitas diagram pohon  melukiskan event atau serangkaian event sebagai cabvang dari suatu pohon. Diagram ini digunakan untuk menyatakan mengenai kondisi probabilitas.
Berikut adalah contoh soal mengenai probabilitras bersyarat menggunakan diagram pohon

Suatu mata kuliah teori probabilitas  diikuti oleh 50 mahasiswa tahun ke 2, 15 mahasiswa tahuun ke 3 dan 10 mahasiswa tahun ke 4. Diketauhi mahasiswa yang mendapatkan nilai A adalah 10 orang dari mahsiswa tahun ke 2, 8 orang dari mahasiswa tahun ke 3 dan 5 orang mahasiswa tahun ke 4. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak ,berapakah peluang dia:
a.  Mendapatkan nilai A
b.  Mahasiswa tahun ke 2 bila diketauhi dia mendapatkan A

a. P (A) = Σ4 i=2 P(Mi) (A | Mi)
             =  (50/75 10/50) + (15/75 8/15) + (10/75 5/10)
             =   50/375 + 120/1125 + 10/150
             =   23/75

b. P(M2|A)  =  P(M2) P(A|M2)
                     =  50/75 10/50
                               23/75
                     =   10/23