Ekspetasi dan Variansi

Ekspetasi

Ekspetasi dari variabel random merupakan konsep terpenting dati teori peluang dan statistika, yang mengakar dalam perjudian, karena mengetauhi nilai harapan  mereka untuk menang. Ekspetasi dari variabel random X ditulis E (X) , lambang E disebut operator ekspetasi.

Ekspektasi atau nilai rata-rata atau nilai mean dari variabel acak X dengan pdf f dan nilai xi untuk i = 1,2,... adalah  E (X) Σ ∞ i=1 xif (xi)

Jika X adalah variabel acak diskrit, nilai mean dari fungsi Y = g(X) adalah

E(Y) = E [g(X)] = Σi g (Xi) P (X = xi)

Misalkan X  dan Y adalah variabel acak diskrit maka

a.    Untuk sembarang konstanta a, E (a) = a dan E(aX) = aE (x) 

b.   E (X+Y) = E(X) + E(Y)

c.    terdapat kontanta a,b,c ,E (aX+bY+c) = aE(X) + bE(Y) + c

Sifat-sifat ekspektasi:

a. Jika X merupakan variabel acak dengan pdf fx(x) dan u(X) adalah fungsi dari X, maka ekspektasi dari u(X) adalah:

                                                               Σ u (x) fx (x) , jika x diskrit

                                               E[u(X)] =  

                                                               ∫^∞ _-∞ u (x) fx (x) dx , jika x kontinu

b. Sifat linear ekspektasi

                                              E [ag (X) + bh(X)] = aE [g(x)] + bE [h(X)]

Contoh soal
Diketahui y1 dan y2 mempunyai fungsi kepadatan bersama f( Y1, Y2) = 2Y1 untuk 0 ≤ 1 ≤ 1 ; 0 ≤ Y2 ≤ 1 ,
sama dengan 0 untuk yang lain. Tentukan harga harapan E( Y1 Y2) dan E[ Y1 + Y1 (Y2)2 ]

E [Y₁ Y₂]                      =  ∫¹₀  ∫¹₀   ( y₁  y₂ ) 2y₁ dy₁ dy

                                  =  ∫¹₀ 2y₂ [ y₁³/3 ] ¹₀  dy₂

                                  =  ∫¹₀  (2/3) y₂ dy₂

                                  =  [ y₂² /3 ] ¹₀

                                  =   1/3

E[ Y₁ + Y₁ (Y₂)² ]           =   E[Y₁] + E[ Y₁(Y₂)² ]

                                  =   ∫¹₀  ∫¹₀   (y₁) 2y₁  dy₁ dy₂  +   ∫¹₀  ∫¹₀   (y₁y₂²) 2y₁  dy₁ dy₂

                                  =   ∫¹₀  [ 2y₁³/3 ] ¹₀ dy₂  +  ∫¹₀  2y₂² [ y₁³/3 ]¹₀ dy₂

                                  =   ∫¹₀  (2/3) dy₂  +  ∫¹₀  (2/3) y₂² dy₂

                                  =  (2/3)  +  [ 2y₂³/9 ]¹₀

                                  =  (2/3)  + (2/9)

                                  =  8/9

Variansi

Mean dari variabel acak X adalah suatu nilai yang penting dalam statistik karena nilai tersebut menggambarkan dimana distribusi probabilitas berpusat. Meskipun demikian mean tidak cukup untuk memberikan gambaran tentang bentuk suatu distribusi.Untuk mengetahui bentuk suatu distribusi, perlu diketahui variabilitas distribusi tersebut (Walpole, 2007;115). Salah satu ukuran variabilitas dalam statistik adalah variansi. Variansi dari variabel acak X atau variansi dari distribusi probabilitas X dinyatakan dengan Var (X)  atau dinotasikan dengan Ϭx² atau Ϭ².

Ϭ² = Σx(x - μ)² f(x) ,jika x diskrit

Ϭ² =  ∫ (x - μ)² f(x)  ,jika x kontinu

Ϭ² = E(X)² - μ²

Sifat sifat variansi 

1. Var (k) = 0

2. Var (kx)² = k² var x

Contoh soal
Diketauhi  variabel random diskrit dengan E(x) = 2 dan E(x(x-4)) = 5. Tentukan var (-4+12)

E (x² - 4x) = 5                                                        Var (x)  = E(x²) - [ E(x) ]²

E(x²) - 4E(x) = 5                                                                 = 13 - 4
E(x²) - 4(2) = 5       ――――――――_>                   =  9
9E(x²) = 5 + 8                                                       maka Var (-4x+12) = 16 var(x)

E(x²) = 13                                                                                               = 16.9  = 144