Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes

Probabilitas terjadinya  suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinotasikan dengan P(B | A). Misalkan A dan B menyatakan dua kejadian dalam koleksi kejadian dalam ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari kejadian A bila diberikan kejadian B dinotasikan dengan

1. P(A | B)         = P (A ∩ B ) / P(B)  ; P (B) > 0
2. P(B | A)         = P (A U B ) / P(B)  ; P (A) > 0
3. P(A U B | C)  = P ((A U B) ∩ C) / P(C)

  SIFAT - SIFAT

1. 0 ≤ P (A | B) ≤ 1 ==> 0 ≤ P(A ∩ B ) ≤ P (B)
2. Jika A ≤ B maka A∩B = A sehingga P(A | B) = P(A)/P(B)
3. Jika B ≤ A maka A∩B = B sehingga P(A | B) = 1

Dari ketiga syrat di atas diperoleh
  P (A U B ) = P (A | B) P (B) = P (B | A) P(A)

Peluang Suatu Kejadian

Teori peluang mempelajari tentang peluang terjadinya suatu kejadian atau peristiwa. Peluang dinyatakan dalam pecahan atau desimal antara 0 dan 1. Dalam teori peluang suatu kejadian adalah satu atau beberapa kemungkinan hasil dari suatu tindakan. Untuk menentukan Peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan ukuran A atau peluang A dan dinyatakan dengan P(A). Jadi ukuran himpunan ∅ adalah 0 dan ukuran S adalah 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(∅) = 0 dan P(S) = 1. Peluang didefinisikan dengan menggunakan tiga pendekatan yang berbeda. Ketiga definisi pendekatan tersebut adalah sebagai berikut.

1. Pendekatan Axiomatic
   Pendekatan axiomatik bedasarkan pada ketiga syarat axioma yang harus terpenuhi tersebut
   a. P (A) ≥ 0
   b. P (B) = 1
   c. P (a u b) = P(A) + P(B)
2. Pendekatan Klasik
   Fungsi peluang P bersifat memiliki kemungkinan yang sama yang didefinisikan pada ruang
   Ω = {ῳ1,ῳ2,ῳ3....ῳn} memberikan peluang yang sama P (ῳ1) = 1/N bagi setiap titik. Menurut definisi klasik,
   "Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A"
   Peluang kejadian A adalah
   P(A) = n (A) / N
3. Pendekatan Empirik
   Kejadian acak dilakukan N kali ,event (A) terjadi n (A) kali. Peluang dari event (A) dinyatakan P (A)
   P(A) = n→~ lim n(A) / n
   Sifat pendekatan empirik
   1. 0 ≤ n(A)/N ≤ 1
   2. Jika A dan B MEE ,maka

   n(A u B) = n(A) + n(B) dan n (A u B)/N = n(A)/N + n(B)/N
   atau P (A u B) = P (A) + P(B)

Ruang Sampel dan Kejadian

RUANG SAMPEL

Ruang sample adalah gugus yang mungkin dari suatu percobaan statistika dan dilambangkan dengan simbol "S". Tiap hasil dalam ruang sample disebut titik sampel. Ruang sampel mempunyai unsur tak hingga banyaknya, maka anggotanya dapat didaftarkan dengan menuliskan dalam tanda himpunan. Ruang sampel "S" yang merupakan kumpulan semua hal yang mungkin dari suatu himpunan. Bila ruang sampel yang besar atau yang anggotanya tak hingga banyaknya lebih mudah ditulis dengan suatu pernyataan atau syarat yang harus dipenuhi untuk menjadi anggotanya.

Contoh :

1. Tiga telur dipilih secara random dari sepuluh telur. Satu telur diperiksa dan digolongkan menurut keadaan cacat dan tidak cacat. Ruang sampel yang memeliki banyak informasi adalah
   S={CCT,CCC,CTC,TCC,CTT,TCT,TTC,TTT)  dengan T = tidak cacat , C = cacat.
   Ruang sampel yang lainnya yang dapat memberikan informasi  S = (0,1,2,3 ) dengan menyatakan tidak ada yang cacat ,satu yang cacat ,dua cacat dan tiga cacat dari pilihan tiga telur dipilih random .
2. Pada pelemparan dua mata uang akan diperoleh kondisi gambar depan dan gambar belakang. Ruang sampel yang memiliki informasi adalah
   S= {AA, AB, BA, BB} dengan A = gambar depan , B = gambar belakang